진보적인 ......
■ 수학의 철학
Fm : 선우(홈페이지) 에서, 일부 발췌
수학은 하나가 아니라 여럿이다. 그래서 수학(mathematiques)은 복수로 쓴다. 수학은 양(quantite)의 과학이며 측정(la mesure)의 과학, 즉 양들간의 관계(les rapports)의 과학이라고 말하는 사람들도 있다. 수학을 데카르트는 "순서와 측정의 과학"이라 한다. 이런 의미에서 군론과 위상학은 전형적인 순서의 과학이다.
□ 수학의 기원은 구체적인 경험인가?
경험론자들에 의하면 수학은 관찰의 과학이다.
밀(J. Stuart Mill)은 "각자가 정신 속에 가지고 있는 점, 선, 원들은 각자가 경험 속에서 알고 있는 점, 선, 원들의 단순한 복사이다"
플라톤은 두 개의 세계를 구별한다: 하나는 감각적인 경험의 세계 다른 하나는 영원한 본질들의 세계이다.
포물선은 경험적인 그림을 초월한 이데아적인 본질이며, 우리는 경험적인 그림에 의해서 포물선이라는 이데아적인 본질을 상징(기호)로 표시한다.
경험론과 관념론사이의 공통점이 있다. 수학자의 활동은 (경험적으로 보는 것이거나 지성적으로 보는 것이거나 간에) "형태를" 보는 것(vision), 즉 수동적 관조(une contemplation passive)이다. 오늘날에는, 경험론과 관념론의 대립은 수학의 연산론(조작이론, theorie operatoire)에 의해서 극복되었다.
□ 수의 개념
수라는 개념 자체의 기원은 분명히 기술적이고 연산적인 것이다.
수가 순수한 이데아라는 플라톤의 말은 틀렸다. 왜냐하면 사람들은 처음에는 물질적인 사물들의 수를 세기 시작 했기 때문이다. [우리는 플라톤이 말하는 수의 단위(l'unite)에 두 종류가 있다는 것을 강조하자, 산술의 수와 기하의 수가 다르다. 아마도 플라톤은 산술의 수를 한번 더 추상하여 기하의 수로 생각했던 것 같다.] 그러나 소크라테스의 양뼈 "다섯"의 명상에서 다섯은 만질 수 있는 물질적인 사물도 아니고 명상할 수 있는 본질도 아니다. "다섯"은 연산의 산물이다. (최초의 상인들은 운반하기 편리한 조약돌을 가지고 가축들과 대응시켜서 거래하였다; '계산(calculs)'이란 말의 어원은 조약돌(cailloux)이다).
역사가 흐르면서, 이러한 연산들은 점점 더 추상화되고 일반화 되었다. 영(zero)이라는 숫자는 인도의 수학자들이 발명하였고, 아라비아의 상인들이 보급하였다. 영이라는 숫자를 정의하면, 아무 것도 표상하지 않는 것, 어떤 실재도 지시하지 않는 것이다. 영이란 말은 힌두어로는 'sunya'이며, sunya는 공(vide)를 의미한다. 수 제로는 연산에서 중요한 가치를 지닌다. 영은 이러한 자리를 채우고 그 자리가 비어있다는 것을 나타낸다.
삐아제(Piaget)의 말과 같이 "음수(le nombre negatif)는 존재하지 않는 어떤 것과 대응이 되기 때문에 감각적인 것으로부터 추상되지 않는다." 그러나 음수는 경제적 연산(부채)이나 기하학적 연산(반대 방향)과 관계가 있다. 마찬가지로 무리수(le mombre fractionnaire)는 피타고라스 학파 사람들이 크기를 측정할 때 나타난 난점들로부터 유래한 기호들이다. 허수(le nombre imaginaire, i=√-1)는, 상상의 수이며, 그 명칭이 나타내는 바와 같이, 제곱근을 구하는 연산을 음수에까지 확대하여 대응시킨 것이다. 허수는 교류 전류를 수학적으로 탐구하는 데 유용하다는 것이 밝혀졌다.
□ 논리학과 수학
. 연역법과 동어반복
라이프니츠는 증명이란 "어떤 명제를 확실하게 만드는 추리"라고 정의한다.
쇼펜하우어의 비유적 표현을 빌면, 수학자는 목발을 짚고 다니기 위해서 두 다리를 절단하는 사람과 같다. 왜 직관이라는 자발적이고 신속한 능력을 추리라는 목발로 대치시키는가?
라이프니츠는 "증명이란 어떤 진리를 이미 알려진 다른 진리로 변화시키는 것에 지나지 않는다.," 산술적이든 기하적이든 수학적 증명은 항상 동어반복을 나타내는 것이라 할 수 있다. 그래서 직접 연역하는 경우도 있고, 소급적(regressive) 증명을 택하는 경우도 있다.
수학은 거대한 동어반복으로 환원된다.
. 수학적 귀납법
뿌엥까레(Poincare, 1854-1912)는 수학적 추리는 연역법뿐만 아니라 귀납법도 포함한다고 생각한다. 귀납법은 사실들을 여러 번 관찰하여서 자연의 보편적인 법칙을 긍정하는 방법이다. 뿌엥까레는 순환에 의한 증명에서 귀납법이 '작용한다'고 대답한다.
"순환에 의한 추리는 일종의 증명을 포함하지만, 결국 그 증명은 설명될 수 없는 증명이다."
. 연산의 특징
수학적 추리도 역시 동어 반복적이며, 동어반복은 수학의 엄밀성의 유일한 비법이다. 동어반복을 밝히려면 연산의 여러 가지 조작기술, 여러 가지 구성규칙들이 필요하다.
연산규칙의 발명과 선택에는 연역법 이외에도 예견적인(divinatrice) 직관의 역할이 강조된다. (빠스깔(Pascal)은 수학자에게 "명제들을 모든 방향으로 회전시켜 보라"라고 하고 갈르와(Galoi)는 수학자가 "연역하는 것이 아니라 조합하고 비교하며", 그래서 "이쪽 저쪽 부딪히면서" 발견을 하게된다고 한다.)
결국 수학자는 처음에 잘 보이지 않는 동어반복들을 부상시킬 수 있는 연산기술을 확립하기 위하여 창의적인 직관을 발휘하는 사람이다.
□ 수학의 원리들
정의(definition), 공리(Axiome), 공준(postulat)- 공리론(L'axiomatique)
연역의 출발점으로 올라가면, 그 자신은 연역되지 않는 최초의 명제들을 발견하지 않을 수 없게 된다. 이를 제일 명제, 원리라 부른다.
존재의 근원도 원리, 인식의 근원도 원리, 실천의 원칙도 원리라 부르기도 한다.
. 수학적 정의(definition)
수학적 정의는 어떤 구체적인 것과 일치할 필요가 없다(음수나 허수 등이 그 예이다). 르 르와(E. Le Roy)의 말과 같이, 수학적 정의가 제시하는 개념은 "효과적이고 연산적인 실행 자료를 정신에게 제공한다."
수 계열에서 다음이 "존재한다"는 것은 "우리에게 그 수에 다른 수를 첨가할 권리가 있다."는 것을 의미한다 (Lalande, La raison et les normes). [ - 이 미래 지배적(예측적) 사유는 과거를 미래로 그대로 투영한 것이다] 따라서 수의 무한성은 수 자체의 형성법칙 중에, 즉 첨가하는 행위 자체 중에 포함되어 있다.
. 공준(Les postulats)
공준은 수학자가 청중에게 동의를 '요청하는(demande, postulare)' 명제이다. 유클리드는 자신의 29번째 명제, 한 직선과 평행하는 직선은 하나밖에 없다는 것에 동의해 주기를 원하였다. 정리(theoreme)로부터 중요한 결과들을 연역해 내는 것과 마찬가지로 공준으로부터도 중요한 결과들을 연역한다. 그리고, 오랫동안 공준을 단순한 경험적 사실이라고 생각했다.
. 공리들(les axiomes)
옛날에는 공리는 자명한 것이었다.
공준(postulat)은 증명할 수 없는 명제, 정리(theoreme)와 같은 것이라면, 공리들(axiomes) 순전히 논리적인 요구(exigence)이며, 수학의 모든 분야에 강제적으로 부과되며, 정신적인 조작을 하는 모든 정신에게 부과된다. 예를 들어, 전체는 부분보다 크다; 제 3의 양과 동일한 두 개의 양은 동일하다.
. 공리론(L'axiomatique)
공리(l'axiome)란 말은 강제적으로 부과되어 있다는 뜻이다. 요즈음은 공리를 함수적 기호작용으로, 연산 규칙(la regle operatoire)으로 생각한다. "다른 명제들로부터 연역된 명제가 아니라 정신의 결단활동에 따라서 연역의 출발점에서 제시된 모든 명제들"을 일반적으로 공리라고 이해한다. [삼단논법(AAA)의 대전제는 공리이다]
공리와 공준의 조작기능이 동일하기 때문에, 공리와 공준은 구별되지 않는다.
데카르트(Descartes)에 의하면 공리란 지성적인 직관에 의해서 파악되는 '단순한 본성들(les natures simples)'이며, 절대적인 자명함이다. 불리강(Bouligand)에 따르면, 우리시대는 절대 수학의 쇠퇴기이다. 블랑셰(Blanche)의 말처럼, "정리에게는 고립적인 진리, 즉 원자론적인 진리는 없다. [관계에서 성립하기 때문에] 정리의 진리란 정리가 체계로 통합되는 것이며, 그렇기 때문에 상호 양립할 수 없는 정리들도 서로 다른 체계들과 관계를 갖게되면 모두 참이 될 수 있다." 그래서 공리 그 자체는 참도 거짓도 아니다. 결국 공리란 우연한 조작(연산 규칙)의 단순한 규약이다.
. 공리와 가정
과학자는 먼저 어떤 긍정을 추측하고, 추측한 긍정으로부터 검증할 수 있는 결과를 연역한다. 가정이란 이런 추측의 긍정(une affirmation conjecturale)을 말한다.
수학적인 연역법의 진리는 상대적이며 순수하게 형식적인(formelle) 것이다. 수학적인 연역법은 선택된 공리체계와 일치하기만 하면 된다. 즉 하나의 공리체계는 하나의 공리론(axiomatique)을 구성한다. (랄랑드는 공리론이란 "연역적 학문의 초기에 제시된 원리의 전체이다"(Lalande, Vocaulaire technique et critique de la philosophie,)고 말한다.
□ 형식주의와 직관
유클리드 기하학을 완벽한 방식으로 공리화 하기를 원했다. 그래서 힐버트(Hibert)는 공리를 5개 그룹으로 나눈다. 점, 직선, 평면 등을 정의 할 수 있는 속성(l'appartenance), 순서 즉 차원(l'ordre), 합동성 즉 기하학적 동등성(congruence), 평행성(parallelisme), 연속성(continuite)이다.
순수 논리학이 보여 줄 수 있는 것은 이러한 체계의 공리들이 논리 정연하고 독립적이라는 것이다. 논리학에서 어떤 공리론은 다른 공리론보다 더 가치 있다는 것을 인정하지 못한다. 그래서 카르납(Carnap)은 "논리학에는 도덕이 없다"고 말한다. - 뿌앙까레 " 제로(0)는 무(無)라는 집합이라고 말하는 것은 제로를 무라고 정의하고, 무는 아무것도 아닌 것이라고 정의하는 것이며, 이것은 프랑스어의 풍부함을 남용하는 것이다." 괴델(Godel)이 말하듯이 "산술의 무모순율은 산술자체의 힘에 의해서 증명될 수 없다." - 뿌앙까레 "논리학이 직관에 의하여 비옥해지지 않는다면, 논리학은 아무것도 생산하지 못하는 불모지로 남아 있을 것이다." - 블랑셰는 "공리론의 방법의 장점은 직관을 배제하는 데 있는 것이 아니라 직관을 포함하면서, 다른 것으로 대치되니 않는 최소한의 영역에 감금시켜서 억제하는 데 있다."
□ 우주 인식에 대한 수학의 역할
아리스토텔레스(Aristote)에 의하면 수학은 양에 대한 학문이다. 자연학(la physique)은 구체적인 성질에 대한 학문이다. - 17세기에 이르러 근대물리학(la physique)이 탄생한다. 케플러, 갈릴레오, 뉴턴은 물질적인 우주를 인식하는 데 수학을 이용할 줄 알았다.
피타고라스(Pythagre)도 우주가 수학적인 작품이라고 생각했다. 그는 수가 "세계를 지배한다(gouverner le monde)"고 하였다. 그는 삼각형을 이루는 형식을 1+2+3+4=10 이라는 생각하고 10을 완전수로 생각하였다.
. 수학은 세계를 번역한다.
과학에서 수는 실재하는 실체가 아니라 순수한 상징인 조작기호(연산기호, symbole operatire)이다. - 수는 "세계의 왕이 아니라 충실한 통역자이다."란 것은 수가 세계를 반영한다는 것이다. 예를 들면, 물리학에서, 케플러는 메나이코스(Menechme)를 이은 아폴로니우스(Apollonius)의 원추분할 기하학에 따라서 화성의 타원궤도를 풀었다. 갈릴레오는 물체의 낙하법칙을 대수학으로 풀었고, 데카르트는 삼각함수의 관계를 이용하여 굴절의 법칙을 이용했다.
수학은 하나의 개별과학이 아니라 모든 학문의 도구이며, 모든 학문의 언어이다. [그 적용 대상과학에 따라 도구인 기호의 기의가 달라진다. 자기 체계내의 기의로서 만족하는 공리에서만 타당하다.] 왜냐하면, [외적 대상 세계를 측정하는] 과학적 지식이 측정이나 양적인 관계에만 관심을 가지고 있기 때문이다.
. 신은 수학자인가?
케플러가 법칙을 발견하고서 신에 대한 감사의 표현으로 "창조주이고 구세주이신 당신, 당신의 작품의 위대함을 통하여 저의 정신을 기쁘게 하여 주신데 대하여 감사합니다." - 라이프니츠는 최소한의 수단으로 최대한의 효과를 실현하고 있는 우주의 법칙의 지극한 간결성을 찬양한다. 그래서 "세계는 신의 계산으로부터 생겼다" - 플라톤은 "항상 기하학적으로 행동하는"신에게 기도하였다. - 성경의 위서 중, '솔로몬의 위서'에서 "신은 척도와 수를 가지고 모든 것을 정리하였다"
칸트는 수의 존재론적 실재론을 거부하고 관념론적 유형의 해결책을 제시한다. 칸트가 필연적이고 선천적이라고 판단했던 것은 유클리드 유형의 시간적, 공간적 직관이었고, 이제는 이러한 직관이 필연적인 것도 아니고, 선천적인 것도 아니라고 생각할 수 있게 되었다.(유클리드 기하학은 선천적 직관이 아니라, 토지측량이라는 초기의 연산작업으로부터 추상된 하나의 도식이다.)
보편수학의 감탄할 만한 꿈은 인간과학과 생명과학에서는 실현되지 못하고 있다. 생명의 생성이나 복잡한 개별성은 수학적으로 번역되기가 어렵기 때문이다. - 비엔나학파의 선언에서 "물리적 광학에서는 장님이 원리적으로 이해 할 수 있는 것만을 취급한다"는 말이 있다. 의식상태들, 감정들 같은 체험의 세계에 대한 가치를 수학적 금욕정신은 합법적으로 배제할 권리가 있다.
그래도 수학적인 새로운 지식을 발견하는 기쁨은 라신느(Racine)의 브리타니쿠스(Britanicus)나 베레니스(Verenice)를 읽으면서 느끼는 기쁨을 대신해 줄 수 없다.
수학은 정신에게는 엄정성을 가르치는 훌륭한 학교이지만 수학만으로는 인간문화 전반을 정의할 수가 없다. 그런데 이런 논리를 배우는 과정을 거쳐야 한다는 것이다. 그리고 철학을 한다.
■ 직관주의
, 무한대 5호, 논리주의 대 직관주의 에서
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< 나의 철학적 발견 >(1959)에서 러셀은 "내가 수학에서 찾기를 항상 바랐던 장려한 확실성은 혼란 된 미궁 속에서 길을 잃었다. ... 그것은 참으로 복잡하고 개념적인 미궁이다"라고 고백했다. 비극은 러셀만이 아니다.
논리주의가 형성될 동안, 수학에 관하여 근본적으로 다른 정반대 방향으로의 접근법이 직관주의자(intuitionist)들이라 불리우는 수학자 그륩에 의하여 착수되었다. 논리주의자들이 수학의 기초를 구하기 위하여 더욱더 세밀한 논리에 의지해 왔던 반면에, 다른 사람들은 논리를 피해가거나 심지어 포기해 왔었다는 것은, 수학의 역사상 가장 흥미 있는 파라독스이다. 한 관점에서 보면, 양쪽 모두 같은 목표를 추구하였다. 19세기 말의 수학은 물리적 세계의 설계에 내재된 법칙을 표현한다는 의미에서 진리임을 주장할 수는 없게 되었다. 프레게와 러셀로 대표되는 초기의 논리주의자들은 논리학은 진리의 본체라고 믿었다. 궁극적으로 그들은 이 같은 입장에서 논리적 원리들이 단지 실용상의 규정이라는 데까지 후퇴해야만 했다. 직관주의자들도 인간의 정신으로 허용되는 규정 위에 참된 수학의 진리를 확립하려고 노력했다. 논리적 원리들로부터의 연역은 직접 직관할 수 있는 것보다 더 믿을 가치가 없었다. 역리의 발견은 이 불신을 더 확신할 뿐 아니라 직관주의의 확정된 학설을 형성하는 것을 가속화 시켰다.
넓은 의미에서의 직관주의는 적어도 데카르트와 파스칼까지 거슬러 올라간다. 데카르트는 그의 < 정신 지도의 규칙 >에서 다음과 같이 말했다.
우리의 이해가 오류의 두려움 없이 지식으로 될 수 있는 방법을 선언해보자. 두 가지 방법이 있는데 직관과 연역이다. 직관은 감각의 변하기 쉬운 증거를 의미하지는 않으며, 허구의 상상력의 그릇된 판단도 아니지만, 주의 깊은 정신의 파악으로서, 이해하는 것에 관하여 아무런 의심도 남기지 않을 정도로 특이하고 분명한 파악이다. 또는 바꾸어 말하면, 건전하고 주의 깊은 정신의 자명한 파악, 다만 이성의 빛 만으로부터 생겨나는 파악이며, 또 비록 위에서 말 한대로 연역으로도 인간의 마음이 오류를 범할 수 없지마는, 연역 자체보다는 더욱 단순하므로 더욱 확실한 파악이다. 이리하여 모든 사람은 직관에 의해서 자기가 존재한다는 것, 자기가 생각한다는 것, 삼각형은 세변으로 둘러싸여 있다는 것, 구는 하나의 곡면으로 둘러 싸여진 것 등을 알 수 있다.
아마도 왜 직관 이외에 연역에 의한 앎의 다른 양식을 첨가하는가 묻게 될 것이다. 연역이란, 우리가 확실히 알고 있는 지식으로부터 필연적으로 따르는 결과를 이끌어내는 과정이다. 그러나 우리는 두 번째 단계를 반드시 받아들여야 한다. 왜냐하면, 많은 사물들이 자기자체로는 분명하지 않지만 각각의 사물을 명료하게 직관하여 나아가는 사고의 연속적이고 중단되지 않는 운동에 의해서, 참이고 기지인 원리들로부터 연역 되기만 한다면, 확실성의 증표를 가지게 되기 때문이다. 마치 우리가 알고 있는 것과 같이, 긴 사슬의 마지막 고리가 첫째 것과 연결되어 있음을 아는데 비록 한번의 눈길로는 중간 것을 다 불 수 는 없지만, 그들을 차례로 거쳐 본 뒤에 처음부터 끝까지 각 고리는 그 다음 것과 연결되어 있음을 기억하고 있기만 하면 충분한 것과 같다. 이리하여 우리는 연역으로부터 다음과 같은 점에서 직관을 구별한다. 연역의 경우는 직관과는 다르게 어떤 과정이나 계속을 생각할 수 있다. ... 이렇게 하여 원리들로부터 직접 연역 되는 기초적인 명제들을 , 그것을 보는 관점에 따라서 혹은 직관으로, 혹은 연역으로 알게 된다고 말할 수 있다. 원리 자체는 직관에 의해서만 알 수 있는 반면에, 멀리 떨어진 결과는 연역에 의해서만 알 수 있다.
파스칼 역시 직관에 깊은 신뢰를 두었다. 수학적 업적에서 보면 실제로 파스칼은 대체로 직관적이었다. 그는 큰 결과를 예상하고, 훌륭한 추측을 하고, 지름길을 보았다. 만년에 그는 모든 진리의 원천으로서 직관에 호의를 보였다. 이 주제에 관한 그의 몇 가지 말은 유명하게 되었다. "마음은 이성이 알지 못하는 그 자신의 이성을 가지고 있다.", "추론이란 진리를 모르는 자가 그것을 발견하는 느리고 뒤틀린 방법이다.", "무기력한 이성이여, 겸손 하라."
넓은 의미의 직관주의는 철학자 칸트 Kant(1724-1804)에 의하여 예견되었다. 주로 철학자이면서도 칸트는 쾨니히스베르크 Koenigsberg 대학에서 1755년부터 1770년 까지 수학과 물리학을 가르쳤다. 그는 우리가 가상의 외부세계로부터 감각을 받아들이는 것을 인정했다. 그러나, 이런 감각이나 지각은 중요한 지식을 제공하지 못한다. 모든 지각은 지각하는 자와 지각되는 대상간의 상호 작용에 관련한다. 정신은 지각을 구성하고 이 구성은 공간과 시간의 직관이다. 공간과 시간은 객관적으로 존재하지 않으나 정신은 공헌으로 알고 있는 것이다. 정신은 오로지 정신만을 일깨우는 경험에 대하여 공간과 시간의 이해를 적용한다. 지식은 경험으로부터 시작할지 모르지만 실제로 경험으로부터 나오는 것은 아니다. 그것은 정신으로부터 나오는 것이다. 수학이란, 경험과는 독립적으로, 우리가 선험적이거나 참인 지식으로 얼마나 많이 나아갈 수 있느냐 하는 빛나는 예이다. 더구나 수학은 칸트가 종합적이라고 부른 것이다. 즉, 그것은 새로운 지식을 제공한다. 반면 "모든 물체는 크기가 있다." 와 같은 분석적 명제는 새로운 지식을 주지 못하는데, 그 이유는 바로 물체의 본성에 의하여, 크기가 성질이기 때문이다. 이와 대조적으로 직선은 두 점 사이의 최단 거리이다라는 명제는 종합적이다.
칸트가 유클리드 기하학의 선험적 종합적 특성을 주장한 것은 잘못이었지만, 그것은 당시의 모든 철학자와 수학자 사이에 유행하던 믿음이었다. 이 잘못은 후세의 철학자와 수학자로 하여금 그의 철학을 불신하게 하였다. 그러나 칸트에 의한 직관의 일종인 시간의 분석과 정신이 기본적인 진리를 제공한다는 일반적인 주장은 끝없는 영향을 주었다.
수학자들은 데카르트, 파스칼, 칸트 같은 사람들의 견해에 비교적 정통하고 있었으므로, 직관주의 학파에 의해 충격을 받지는 않았을 것이다. 이 학파는 적어도 그 시작에서부터 급진적인 것으로 간주되었다. 그러나 데카르트, 파스칼, 칸트 중 어느 누구도 마음 속으로 모든 수학에 직관주의적 접근을 하려는 생각은 없었다. 수학의 기초에 관한 접근 방식으로서의 직관주의는 현대의 것이다.
현대 직관주의의 직접 선구자는 크로네커 Leopold Kronecker(1823-91)다. 그의 경구 (어떤 만찬 후의 연설에서 주어진) "신은 정수를 만들었고, 나머지는 인간의 일이다."는 잘 알려진 것이다. 칸토르와 데데킨트가 집합의 일반이론을 써서 제시한, 보통의 정수의 복잡하고도 논리적인 도입법은 정수를 직접적으로 받아들이는 것보다 더욱 믿을 수 없는 것처럼 보였다. 이런 것들은 직관적으로 분명했고 더 안전한 기초가 필요하지 않았다. 정수에서 더 나아가면, 모든 수학적 구성은 사람들이 분명한 의미를 가질 수 있는 용어를 써서 건설되어야만 한다. 크로네커는, 정수를 근거로 한 실수의 건설에서 단순히 일반적인 존재 정리만을 주는 것이 아닌 실제로 실수의 계산을 가능하게 해주는 방법이 건설되어야 한다고 주장하였다. 이리하여 그는 다항방정식 근을 계산할 수 있는 경우에 한하여 그런 근으로 나타나는 무리수만을 받아 들었다.
칸토르는 초월수 transcendental number, 즉 대수방정식의 근이 아닌 무리수가 존재한다는 것을 증명하였으며, 1882년에 린데만 Ferdinand Lindemann은 π가 초월수임을 증명하였다. 이 일에 대하여 크로네커는 린데만에게 "π에 관한 당신의 아름다운 연구가 무슨 소용이 있는가? 그런 무리수는 존재하지도 않는데 왜 그런 문제를 연구하는가?"라고 물었다. 크로네커의 이의는 모든 무리수에 관한 것이 아니라 문제가 되는 수의 계산을 허용하지 않는 증명에 있었다. 린데만의 증명은 건설적인 것이 아니었다. 실제로 π는 무한급수의 식을 써서 원하는 자리만큼의 소수점 아래 숫자를 구할 수 있으나, 크로네커는 이러한 급수를 받아들이려 하지 않았다.
크로네커는 무한집합과 초한수를 인정하지 않았는데, 그 이유는 그가 단지 잠재적 무한만을 인정했기 때문이다. 이 분야에 관한 칸토르의 업적은 수학이 아니라 신비주의였다. 고전 해석학은 말의 게임이었다. 그는 마땅히, "신이 다른 수학을 가졌다면, 그는 스스로 그것을 세워야 한다." 고 덧붙었어야만 했다. 크로네커는 자신의 견해를 피력했을 뿐이지 그들을 전개하지는 않았다. 아마도 그는 자신의 과격한 개념을 그다지 진지하게 생각하지 않았던 것 같다.
보렐 Borel , 베르, 르벳구 Lebesgue 의 선출공리에 관한 반대에 대하여는 앞에서 알아보았지만, 그들은 반 직관주의자(semi-intuitionist)들이었다. 그들은 실수계를 기초로 받아들였다. 그들의 견해의 세부적인 것은 다소 역사적으로만 흥미거리가 된다. 왜냐하면, 그들 자신은 특별한 문제에 관해서만 의견을 나타냈으나, 그들 역시 체계적인 철학을 제시하지 않았기 때문이다.
프앙카레는 크로네커와 마찬가지로, 자연수를 정의하거나 공리적 기초에서 자연수의 성질을 구성하거나 할 필요가 없다고 생각하였다. 우리의 직관은 이러한 구조에 선행한다. 프앙카레는 또한 수학적 귀납법이 결과의 일반성과 새로운 결과의 창조를 실제로 허용한다고 논하였다. 그것은 직관적으로는 건전하지만, 이 방법을 논리로 환원할 수는 없다고 주장했다.
프앙카레가 본 대로 수학적 귀납법의 본성은 검토되는 것이 당연한데, 그 이유는 그것이 오늘날의 한 쟁점으로 남아 있기 때문이다. 이 방법으로, 예를 들어, 모든 자연수 n에 대하여
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 .... (1)
임을 증명하려면 n = 1일 때, 참임을 보이고, 어떤 자연수 k에 관하여 성립함을 가정하면 k + 1에 관하여도 참임을 증명한다. 그러므로 프앙카레는 이 방법이 무한 번의 논증을 포함하고 있다고 주장하였다. 이것은 (1)이 n = 1일 때 참이므로 n = 2일 때도 참이다라는 것을 주장한다. n = 2일 때 참이므로 n = 3일 때 참이고, 계속해서 모든 자연수에 대하여 성립한다. 어떤 논리의 원리도 무한 번의 논증을 보장할 수 없고, 이런 원리들로부터 이 방법을 이끌어낼 수 없다. 그러므로 프앙카레에게는 무모순은 수학을 논리로 환원한다는 취지로는 증명될 수 없었던 것이다.
무한집합에 관하여 프앙카레는 "실 무한은 존재하지 않는다. 우리가 무한이라고 부르는 것은, 단지 아무리 많은 대상이 이미 존재하던지 관계없이 새로운 대상을 창조하는 끝없는 가능성만을 나타낸다."라고 믿고 있었다.
프앙카레는 심하게 기호를 쓰는 논리학파의 접근법에 대하여 전적으로 반대하였는데, 저서 < 과학과 방법 > Science and Method 에서는 조소하기까지 했다. 자연수에 관한 이 같은 접근방식의 한 예로 부랄리 포르티의 1897년의 논문을 들었는데, 거기에서 프앙카레는 1을 정의한 기호의 미로를 찾을 수 있다고 했고, 이것은 자연수 1을 이전에 결코 들어보지 못한 사람에게 수 1의 개념을 주는 데 아주 적당한 정의라고 말했다. 그는 덧붙여서 "나는 이 정의가 선결 문제 요구 (petitio principii = begging the question)의 허위를 포함하지 않는가 크게 두렵다. 좌변에 1이라는 숫자가 있고 우변에 un(1이라는 뜻)이라는 단어가 들어있음을 보기 때문이다."라고 말했다.
그리고 프앙카레는 논리주의의 초기 지지자였던 쿠투라 Louis Couturat (1868-1914)에 의하여 창안된 영(zero)의 정의에 눈을 돌렸다. 영이란 "공집합의 원소의 개수이다. 그러면 공집합이란 무엇인가? 이것은 원소를 가지지 않는 집합이다." 그리고 쿠투라는 기호를 써서 그의 정의를 다시 표현하였다. 프앙카레는 다음과 같이 옮겨 적었다. "영이란 결코 성립하지 않는 어떤 조건을 만족하는 사물의 개수이다. 그러나 '결코 ... 않는'이란 말의 의미는 그런 경우가 없다 (in no case)는 것이므로, 네게는 어떤 큰 진보가 있었다고는 생각되지 않는다."
다음으로는 프앙카레는 쿠투라의 수 1의 정의에 대하여 비판하였다. "쿠투라는 1이란 어느 두 개의 원소도 같은 한 모임의 원소의 수이다라고 말했다. 그러나 내가 두려워하는 것은 우리가 쿠투라에게 두 개란 무엇인가라고 물을 때 그가 1이란 단어를 써야만 한다는 것이다."
직관주의의 창시자들인 크로네커, 보렐, 르벳구, 프앙카레, 베르 - 대가들의 명부 - 는 표준적인 수학적 논법과 논리적 접근 방식에 많은 비판을 했고 새로운 원리들을 제안하였으나, 그들의 공헌은 일시적이고 단편적이었다. 그들의 생각은 모두 화란의 수학 교수이며 직관주의 철학의 창건자인 브라우어 Luitzen E.J. Brouwer(1881-1966)에 의한 명확한 주장 속에 합병되었다. 그의 박사 학위 논문 < 수학의 기초에 관하여 > on the Foundations of Mathematics(1907)에서 브라우어는 직관주의 철학을 제안하기 시작했다. 1918년 이후 계속 그는 그의 견해를 확장하고 여러 가지 학술지를 통하여 자세히 설명하였다.
수학에서의 그의 직관주의적 입장은 그의 철학으로부터 나왔다.
수학이란 정신에서 시작하고 정신에 자리잡은 인간 활동이다. 그것은 인간의 정신의 외부에는 존재할 수 없다. 그러므로 그것은 실세계와 독립되어 있다.
정신은 기본적이고 분명한 직관을 인식한다. 이런 것들은 감각적이나 경험적인 것이 아니라 수학의 어떤 개념에 대한 즉각적인 확신들이다. 정수가 이런 것에 속한다. 기본적인 직관은 시간의 연속에서 일어나는 서로 다른 사건의 인식이다. "수학이란 시간의 경과에서 생긴 둘임의 주제(subject of twoness)가 모든 특별한 사건들로부터 추상화 될 때 일어난다. 모든 이런 둘임의 공통 내용의 나머지 빈 형식이 수학의 원초적인 직관이 되고 새로운 수학의 주제를 반복하여 제한 없이 창조한다." 제한 없는 반복이란 브라우어에게는 자연수를 차례로 구성하는 것을 의미한다. 시간의 직관으로부터 정수를 이끌어낸다는 생각은 칸트와 < 시간의 과학으로서의 대수학 > Algebra as a Science of Time아라는 논문에서의 해밀턴과 철학자 쇼펜하우어 Arthur Schopenhauer에 의하여 견지 되었던 것이었다.
브라우어는 수학적 사고를, 경험과는 독립적으로 스스로의 세계를 세우는 정신적 건설의 과정이라고 여겼다. 다만 여기에서의 제한은, 그것이 기본적인 수학적 직관을 근거로 하여야 한다는 것뿐이라는 것이다. 이런 기본적인 직관적 개념은 공리적 이론에서 나타나는 것과 같은 무정의 아이디어의 본성과 같은 것으로 생각되어서는 안 되며, 이런 아이디어가 수학적 사고에 실제로 공헌한다면, 여러 가지 수학적 구조에서 일어나는 무정의 아이디어를 직관적으로 받아들이게 하는 그 무엇으로 생각되어지는 것이다. 더욱이 수학은 종합적이다. 수학은 논리의 함의들을 이끌어 낸다기 보다는 진리를 구성하는 편이다.
브라우어는 "이런 건설적 과정에서 어떤 주장이 정신에게 자명한 직관으로 받아들여질 수 있고 어떤 것이 그렇지 않은가를 사고의 숙고, 세련, 수련으로써 알아보아야 하는 구속으로 제한되지만, 수학에서 오직 가능한 기초는 추구되어져야 한다."고 여겼다. 직관이 아이디어의 건전성과 수용가능성을 결정하는 것이지, 경험이나 논리가 결정하는 것은 아니다. 물론 이 진술은 경험이 담당한 역사적 역할을 부정하는 것이 아니라는 것은 기억되어야만 한다.
자연수 이외에도, 브라우어는 덧셈, 곱셈, 수학적 귀납법은 직관적으로 분명하다고 주장하였다. 더욱이 자연수 1,2,3.... 을 얻고 난 뒤, "빈 형식", 즉 n에서 n + 1로의 단계를 무한히 반복하는 가능성을 사용하여 정신은 무한집합을 창조한다. 그러나 무한집합은 그 안에서 임의로 주어진 수들의 유한집합에 더 큰 수를 항상 더할 수 있는 잠재적 무한 집합이다. 브라우어는 모든 원소가 "동시에" 나타나는 칸토르의 무한집합을 반대했으며, 따라서 초한수의 이론, 체르멜로의 선출공리, 실 무한집합을 사용하는 해석학의 부분들을 배격했다. 1912년의 한 강연에서 그는 ω까지의 서수와 가부번집합 countable set을 받아들였다. 그는 또 아무런 형성의 규칙이 없는 "자유 선택의 수열"인 유리수의 수열로 정의된 무리수를 허용하였다. 이 정의는 모호하지만 실수의 비가부번집합 uncountable set 을 허용한 것이다. 한편, 기하학은 수와는 달리 공간등에 관련되므로 우리의 정신의 완전 통제 아래 있지는 않으나, 종합기하학은 물리과학에 속하는 것이라 하였다.
무한집합에 관한 직관주의자의 개념과 관련하여 직관주의자 바일은 1946년의 어느 논문에서 이렇게 말했다.
이미 도달한 어느 단계를 넘어서 커져 가는 수열은 .... 무한까지 열려있는 가능성의 다양체이다. 이것은 창조의 상태로 영원히 남아 있으나, 그들 자신 속에 존재하는 것들의 닫혀진 왕국은 아니다. 우리가 맹목적으로 어떤 것을 다른 것으로 바꾸려 하는 것은 우리의 곤경의 참된 원천인데, 이런 곤경 중에는 이율배반[역리] - 러셀의 불완전한 순환원리가 지시하는 것보다 더 기본적인 성질의 원천인 - 도 있다. 브라우어는 우리의 눈을 뜨게 했고 우리에게, 현실의 모든 인간적 가능성을 초월하는 절대에 대한 신념으로 키워져 온 고전수학이 현실적인 의미를 가짐과 명백성 위에 건설된 진리임을 주장하는 그러한 진술들을 넘어서 얼마나 더 나아갈 수 있는가 하는 것을 보게 했다.
그런 뒤에 브라우어는 수학과 언어의 관계를 다루었다. 수학이란 전적으로 자율적이고 그 자체로 충분한 활동이다. 그것은 언어와는 독립적으로 되어 있다. 단어나 말의 결합은 진리를 전달할 때에만 사용된다. 수학적 아이디어는 언어보다도 인간의 정신 속에 더 깊이 묻혀있다. 수학적 직관의 세계는 지각의 세계에 속하며, 거기에서 공통적인 행동의 이해를 돕는다. 언어란 기호와 소리로 인간의 정신 속에 생각의 복사를 일깨워 준다. 그 구별은 산에 오르는 것과 그것을 단어로 설명하는 것과의 차이와 비슷하다. 그러한 수학적 아이디어는 언어의 의복과는 독립되어 있고 사실은 더욱 풍부하다. 사고는 기호적 단어를 포함하는 수학적 언어에 의해서 조차 결코 완전히 표현될 수 없다. 더구나 언어는 참된 수학의 주제와는 거리가 먼 것이다.
특히 논리주의에 대한 반대에서, 더욱 격렬한 것은 논리에 대한 직관주의자의 입장이다. 논리는 언어에 속한다. 그것은 진리를 전달하려는 의도인 또 다른 말들의 결합의 연역을 허용하는 규칙들의 체계를 제공한다. 그러나 이렇게 전달된 진리는 이전에 직관적으로 포착한 것과 같지 않고, 그렇게 포착할 수 있도록 허용된 것도 아니다. 논리란 진리를 아는데 믿을 수 있는 도구가 아니며, 또 논리는 어떤 다른 방법으로는 얻을 수 없는 어떤 진리를 연역해내지도 못한다. 논리의 원리들은 언어를 조종하는 고안이거나 언어의 표현의 이론이다. 논리는 말의 체계로 세워진 것이지 그 이상은 아니다. 수학에서의 가장 중요한 발전들은 논리적형식을 완비화 함으로써 얻어진 것이 아니라 기본 이론 자체를 변경하여 얻어진 것이다. 논리가 수학에 의존하는 것이지 수학이 논리에 의존하는 것은 아니다. 논리는 우리의 직관적 개념보다 훨씬 불확실하며, 수학은 논리의 보증을 필요로 하지 않는다. 역사적으로, 논리의 원리들은 유한개의 대상을 가진 경험으로부터 추상화 되었고, 그 뒤에 선험적으로 유효함과 일치되었으며, 다시 무한집합에 적용되었다.
……
■ 영
"0, Zero"
자료 : 수학아 놀자 (2005.8.21)
서기 520년 경, 열렬한 불교 신자인 중국 양(梁) 나라의 무제는 지금의 인도에 해당하는 불교의 나라 ‘천축국’에 불법을 전해줄 고승을 보내달라고 요청하였습니다. 이 요청에 응하여 남천축국 향지왕의 셋째 왕자로 출가하여 도를 이룬 달마스님이 이역만리 중국에 오게 되었습니다.
인도에서 교화하다 정법불교를 전파하기 위해 2년이 넘는 머나먼 항해 끝에 바다를 건너 중국의 광주에 도착한 달마스님은 양나라의 도읍인 건업으로 가서 양무제를 만났습니다. 그 당시 중국에서 불교를 크게 일으키고, 절을 위해 큰일을 많이 하던 양무제는 달마대사를 반가이 맞이하며 다음과 같은 질문을 하였습니다.
“나는 즉위한 이래 수많은 절을 짓고 경전을 출판하였으며, 불교의 부흥에 온 힘을 기울었는데 나의 공덕(功德)이 얼마나 되오?”
달마는 대답하였습니다.
“무(無)”
이 한마디의 답변은 좋은 일을 많이 하고 복을 빌면 극락왕생 한다는 중국불교의 관습에 젖어 있던 양무제에게 지극히 충격적인 발언이었습니다. 양무제는 깜짝 놀라 다시 한번 물었습니다.
“어찌 나의 공덕(功德)이 하나도 없다고 말씀하시는지?”
“그림자가 실체가 아니듯, 그것은 오직 허상인 공(空)에 불과할 뿐입니다.”
“절을 많이 지어주고 보시를 많이 하는 것이 아무 것이 아니라면 진정한 공덕이란 무엇이며, 성스러운 건 무엇이란 말이오?”
“진정한 공덕이란 청정한 지혜의 완성에 있으므로 본질을 빼고는 성스러울 게 아무 것도 없습니다(無聖).”
이렇게 통하지 않는 대화에 화가 잔뜩 난 양무제 역시 괴상한 질문을 합니다.
“그래, 이 세상에 성스러움이 없다면 내가 성스럽게 대하고 있는 당신은 도대체 누구요?”
“나도 나를 모르겠습니다(不識).
인연이 닿지 않은 이러한 대화는 이내 끝나고 말았습니다. 달마스님은 복을 빌어 복을 받는 기복불교사상에 젖어있던 양무제에게 전혀 환영을 받지 못하고 양자강을 건너 북쪽 위(魏) 나라로 올라가 소림 무술로 유명한 소림사에 정착했습니다.
달마스님은 경전공부와 염불을 중시했던 기존불교와는 달리 9년 간 벽만 보고 앉아 마음공부를 하면서 선(禪)의 씨앗을 뿌려 마침내 중국에 선불교를 찬란하게 꽃피우게 하였고, 우리나라 불교에도 지대한 영향을 미쳤습니다. 그가 바로 그림처럼 눈을 부릅뜬 괴상한 표정으로, 스님들의 그림인 선화(禪畵)에 자주 등장하는 보리달마(菩提達磨) 입니다.
위의 대화에서 나오는 ‘무(無)’라든지, ‘공(空)’이라든지, 불식(不識), 선불교 등은 넓은 의미에서 수학의 영(0) 같은 개념입니다. 인도에서 탄생하여 수학적 용어로 자리 잡은 영(0)은 마음을 비워야만 비로소 보이기 때문입니다. 그러므로 달마가 동쪽으로 간 까닭은 영(0)을 동쪽의 해 뜨는 나라에 전하러 갔던 것입니다.
영(0)을 의미하는 공(空)은 비어있음을 뜻하므로 자연스레 허공인 하늘을 뜻하며 우주와 연결됩니다. 수학적 용어로는 무한대와 연결됩니다. 아무 것도 없어야 ‘0’이 보이듯 마음을 비워야만 비로소 우주가 보입니다.
어떤 스님은 티끌 속에 우주가 있다고 말했습니다. 티끌은 ‘0’이고 우주는 ∞(무한대)입니다.
한 아이는 어머니에게 물었습니다.
“어떻게 작은 눈으로 큰 산을 볼 수 있나요?”
작은 눈은 0이고 큰 산은 ∞입니다. 파스칼은 ‘인간은 생각하는 갈대다’라고 말했습니다. 갈대는 0이고 생각은 ∞입니다. 불교에서 가장 짧은 경전인 ‘반야심경’에 색불이공 공불이색 색즉시공 공즉시색(色不異空 空不異色 色卽是空 空卽是色)이라는 말이 나옵니다.
공(空)은 없는 것, 보이지 않는 것이고, 색(色)은 있는 것, 보이는 것을 뜻하므로 위를 해석해 보면 ‘보이는 것은 보이지 않는 것과 다르지 않으며, 보이지 않는 것은 보이는 것과 다르지 않습니다.’ ‘보이는 것은 곧 보이지 않는 것이요, 보이지 않는 것은 곧 보이는 것이니라.’
위의 예처럼 우주는 티끌이고 티끌은 우주이며, 작은 눈은 큰 산이고 큰 산은 작은 눈이며, 인간은 생각에 의해서만 비로소 위대해 진다는 뜻입니다.
한 때 우리나라 불교 조계종의 종정을 지내신 성철스님은 신년법어로 ‘산은 산이요, 물은 물이다’라고 하여 화제를 불러일으킨 적이 있습니다. 반야심경처럼 말하면 ‘산은 물이요, 물은 산이다’라고 해야 함이 마땅한데도 그는 ‘산은 산이요, 물은 물이다’ 즉 ‘0 = 0, ∞ = ∞’이라 하여 용어의 해석을 새롭게 하였습니다.
이 아무 것도 없는 0을 확대하면 우주를 상징하는 원이 됩니다. 그래서 스님들의 그림에는 우주를 상징하는 원이 자주 등장합니다. 원불교의 법신불 ‘일원상’은 모든 성자의 깨달은 진리를 뜻하므로 신앙의 대상과 수행의 표본으로 모십니다. 성철스님의 일원상은 나에게 오늘도 너의 마음은 원 안에 있느냐, 밖에 있느냐? 마음은 비웠느냐, 채웠느냐? 묻고 있습니다.
유클리드는 0을 같은 의미인 점으로 설명합니다.
‘점은 위치는 있으나 크기가 없다.’
‘선은 점들의 모임인데 폭은 없고 길이만 있다.’
시간은 먼 과거에서 와서 현재를 지나 어디가 끝인지도 모르는 미래로 가고 있습니다. 시간은 직선과 동일한 개념입니다.
이러한 의미로 시작된 유클리드 기하학은
(공준1) 한 점에서 다른 한 점에 직선을 그을 수 있다.
(공준2) 유한한 선분은 그 양쪽으로 얼마든지 연장할 수 있다.
(공준3) 임의의 점을 중심으로 하고, 임의의 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다 등 합리적인 방향으로 선회합니다.
이 아무 것도 없는 0은 서양으로, 동양으로 날아다니며 이렇게 수많은 논리와 철학을 만들어내고 있습니다.
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한국교육신문
<meta! content="‘무(無)’라든지, ‘공(空)’이라든지, 불식(不識), 선불교 등은 넓은 의미에서 수학의 영(0) 같은 개념입니다. 인도에서 탄생하여 수학적 용어로 자리 잡은 영(0)은 마음을 비워야만 비로소 보이기 때문입니다. 그러므로 달마가 동쪽으로 간 까닭은 영(0)을 동쪽의 해 뜨는 나라에 전하러 갔던 것입니다" name="0, 영, zero">
한국교육신문, 수학아 놀자
아르키메데스가 안과 밖에서 원에 접하는 다각형으로 구하는 방법인 ‘조임법’으로 원주율을 약 3.14로 계산한 이래, 이것을 계기로 이와 같은 방법으로 ‘자릿수 늘이기’가 시작되었습니다. 말이 쉬워 3.14이지 정12각형 정도의 계산이라도 구하고자 노력했던 사람이라면 이 계산이 그렇게 만만하지 않다는 것을 알 수 있을 것입니다. 사실 이러한 방법은 너무나 복잡해 엄청난 시간과 노력이 요구되지만 수학자들의 끈질긴 노력으로 점점 자리 수는 늘어 갔습니다.
그 기록을 살펴보면 중국 위나라의 수학자 유휘(劉徽 263년경)는 정3072각형을 이용하여 소수점 아래 다섯째 자리 3.14159까지 계산해 내었고 중국 남북조시대 조충지(429∼500)와 그의 아들은 원주율은 3.1415926와 3.1415927 사이에 있다는 것을 밝혔지만 아무래도 ‘조임법’의 최고기록은 16세기 독일의 수학자 루돌프인 것 같습니다. 독일의 수학자 루돌프 코일렌(1540∼1610)은 원둘레를 계속 이등분하여 안과 밖에서 원에 접하는 방법으로 소수점 35자리까지 정확히 계산하였습니다. ‘조임법’으로 이만큼의 자리 수를 계산해 낸다는 것은 실제로 대단한 것입니다. 이 때문에 독일에서는 지금도 원주율 π를 ‘루돌프 수’라고 부릅니다. 루돌프는 그의 모든 생애를 원주율을 계산하는데 바친 사람으로 그는 이를 아주 자랑스럽게 생각하여 유언으로 그의 묘비에 새기게 하였습니다. 어쨌든 아르키메데스가 발견한 소수 2자리부터 ‘루돌프의 수’의 소수 35자리까지 33자리를 늘이는데 약 2000년의 세월이 소요되었습니다. 이 문제는 그만큼 어려웠습니다. 소수점 아래 자릿수를 33자리 늘리는데 2000년의 세월이 걸렸던 π는 17세기에 들어와서 전통적인 방법인 ‘조임법’을 벗어나 새로운 방법이 도입되었습니다. 새로운 돌파구를 뚫은 사람은 영국의 수학자 윌리스(1616∼1675)인데 그는 이항정리를 이용하여 π를 π = 2 * (2*2*4*4*6*6……) / (1*3*3*5*5*7……) 이라는 획기적인 공식을 만들어 냈습니다. 이것은 정다각형의 계산으로 π의 값을 구하는 방법 외에 새로운 방법으로 나타낸 최초의 공식입니다. 아울러 뉴턴(1642∼1727)과 라이프니츠(1646∼1716)에 의해 미적분학이 나오면서 원주율 π를 무한급수로 나타내는 식이 차례차례 발견되었습니다. 무한급수라는 것은 “ 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+……“ 처럼 수를 한없이 더하는 형태를 말하는데, 이러한 무한급수를 이용하여 π값을 처음 계산한 사람은 그레고리(1638∼1675)였습니다. 그는 미적분학을 이용하여 ‘그레고리 급수’라 불리는 π = 4 * (1 - (1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)+……) = 2 * ((1/1*3)+(1/5*7)+(1/9*11)+……) 의 공식을 발견함으로써 π의 계산에 새로운 방법이 있다는 것을 세상에 알렸으며 이를 계기로 많은 새로운 공식을 만들어 졌습니다. 이리하여 π값은 소수점 아래 100자리를 넘어서게 되었고 이제는 무한급수를 이용한 원주율 자릿수 늘이기가 시작되었습니다. 주위 사람들 중에 가끔 원주율 π의 값을 구하느라 고생하는 이야기를 듣고서 답답해 하며 이런 질문을 합니다. “왜 골치 아프게 그렇게 계산하는가?” “그것은 자로 정확히 재면 되지 않느냐? 자가 정확치 않다면 전자현미경으로라도 정확히 재면 될 것 아닌가?” 그러나 그것은 그렇게 간단치 않습니다. 성인(聖人)의 둥근 마음을 ‘자’로 잴 수 없듯이 완벽한 원(圓)이란 이 지구상의 어느 곳에도 존재하지 않으며 오직 마음속에, 상상 속에만 존재합니다. 완벽한 원이란 실제의 눈으로 볼 수 있는 원이 아니라 영혼의 눈으로만 볼 수 있는 ‘이데아로서의 원’인 것입니다. 그러므로 아무리 완벽한 기술로 원을 그린다 해도 그것은 오차를 가지고 있기 마련입니다. 설령 가장 완벽에 가까운 원을 만들었고, 성능이 아무리 좋은 현미경일지라도 현재의 과학으로 소수점 35자리까지는 읽어낼 수 없습니다. 일(10^0), 십(10^1), 백(10^2), 천(10^3),… 과 마찬가지로 푼(10^-1 = 1/10), 리(10^-2 = 1/100),, 모(10^-3 = 1/1000),, … 찰라(10^-18 ),, … , 정(10^-23),이라는 숫자 읽는 법이 있지만 소수 23자리를 나타내는 정(淨) 이후로는 너무 작아서 아예 읽을 말조차 없습니다. ***** 일(10^0), 십(10^1), 백(10^2), 천(10^3), 만(10^4), 억(10^8), 조(10^12), 경(10^16), 해(10^20), 저(10^24), 양(10^28), 구(10^32), 간(10^36), 정(10^40), 재(10^44), 극(10^48), 항하사(10^52), 아승지(10^56), 나유타(10^60), 불가사의(10^64), 무량대수(10^68), …… 일(10^1), 푼(10^-1), 리(10^-2), 모(10^-3), 사(10^-4), 홀(10^-5), 미(10^-6), 섬(10^-7), 사(10^-8), 진(10^-9), 애(10^-10), 묘(10^-11), 막(10^-12), 모호(10^-13), 준순(10^-14), 수유(10^-15), 순식(10^-16), 탄지(10^-17), 찰나(10^-18), 육덕(10^-19), 허(10^-20), 공(10^-21), 청(10^-22), 정(10^-23) ***** 더욱이 미래에 더욱 좋은 현미경(?)이 나올 걸 대비하여 윌리엄 생크스(1812∼1882)는 평생에 걸쳐 소수 707자리까지 계산해 놓았습니다. 이 숫자는 워낙 복잡하여 아무도 검산을 해 볼 생각을 못하였으나, 컴퓨터가 발명되어 1946년에 컴퓨터를 이용해 계산을 해보니 1분 만에 528자리부터 틀렸다는 것이 발견되어 사람들을 즐겁게 하였습니다. 1776년에 람베르트는 아무리 완벽한 원과 아무리 정확한 현미경이라도 불가능하게 π는 되풀이하지 않는 수가 영원히 계속되는 수인 비순환 무한소수(분수로 쓸 수 없는 수)임을 증명했습니다. 이것은 부피와 무게는 서로 ‘자’가 달라 비교할 수 없듯이 π도 기존의 자로 잴 수 없다는 걸 의미합니다. 그럼에도 불구하고 π의 값을 1958년에 1만 자리까지 계산되었고, 점점 숫자가 늘어나 1989년에는 10억 자리까지, 1995년에는 소수점이하 42억 9천 4백 96만 자리까지 계산해 내더니, 2002년 12월에는 도쿄대학 기술연구소에서 1조 2400억 자리까지 구했다고 합니다. 왜 이렇게 끝도 없는 걸 계속 계산해 내는 걸까요? 집합을 만든 수학자 칸토어(1845∼1918)는 ‘수학의 본질은 자유로움에 있다’고 했습니다. 이 자유, 떠나고 싶은 사람은 떠나고, 계산하고 싶은 사람은 계산하고. 수학의 공부는 이렇게 하는 것이겠지요. 이렇게 수학은 바늘구멍과 같은 작은 틈만 있어도 그 틈을 이용해 세상을 밀어 넣는 그 힘 자체가 수학입니다.
한국교육신문, 수학아 놀자 (2005/08/21)
<meta! content="‘ ‘수학의 본질은 자유로움에 있다’고 했습니다. 이 자유, 떠나고 싶은 사람은 떠나고, 계산하고 싶은 사람은 계산하고. 수학의 공부는 이렇게 하는 것이겠지요. 이렇게 수학은 바늘구멍과 같은 작은 틈만 있어도 그 틈을 이용해 세상을 밀어 넣는 그 힘 자체가 수학입니다" name="원주율, 파이, 3.14, π"></meta!>
■ 피보나치 수열
. 피보나치 수열 (Fibonacci sequence)
fm : Daum 백과 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…… 형태의 수열. 즉, 첫 번째 항의 값이 0이고 두 번째 항의 값이 1일 때 이후의 항들은 이전의 두 항을 더한 값으로 만들어지는 수열을 말한다. 수열의 공식은 다음과 같다.
. fn = fn-1+ fn-2 (단 , f0=0, f1=1, n=2, 3, 4, ….)
. 황금비
fm : Daum 신지식 중 발췌
황금비 또는 황금률은 외중비라고도 부르며 황금 분할을 통해 그 비율을 알 수 있다.
황금분할은 선분을 한 점에 의하여 두 부분으로 나누는데, 한쪽 부분의 제곱값과 나머지 부분과 전체와의 곱이 같아지도록 선분을 나누는 것이다. 선분 AB 상에서 그 선분 상에 한 점 P를 구하여 (AP)2 = (BP)·(AB) 가 되도록 하고 나눠진 두 두분의 비를 구하면
(BP) : (AP) ＝ 1 : 1.618039… ＝ (√5 - 1)/2
가 되고 이를 황금비라 한다.
길이 1인 막대기를 적당하게 잘랐을 때, 긴 토막과 짧은 토막의 비율이 원래 막대(1)와 긴 토막의 비율과 같아지도록 하는 지점 값이 황금비이다.
X : 1-X = 1 : X
X^2 + X – 1 = 0
피보나치 수열의 앞 값과의 비율은, 1 : 1.618039…에 수렴한다.
수열 앞 값과 비율
1
2 0.5
3 0.666666667
5 0.6
8 0.625
13 0.615384615
21 0.619047619
34 0.617647059
55 0.618181818
.
.
121393 0.618033989
196418 0.618033989
317811 0.618033989
꽃잎의 수, 씨의 배열, 꽃 차례, 잎 차례 등도 피보나치 수열에 기반을 두며, 세포 분화 방식도 피보나치 수열에 따른다. 달팽이 껍질과 나선 은하의 모양도 황금비 기반의 나선형이다.
이러한 황금비는 고대부터 조화를 갖춘 이상적인 비율로 간주되어왔는데 이집트의 피라미드와 그리스 아테네의 파르테논 신전에서 황금비를 찾아볼 수 있다. 고대 그리스 수학의 대명사인 피타고라스는 자신이 세운 학교의 상징을 황금비율에 의해 그려진 별모양(황금오각형)으로 삼았을 정도로 황금비에 관심이 많았다. 그는 자신의 자화상 오른손에 피라미드를 그려 넣고 ‘Secret of the Universe???????이라는 문장을 새겨 넣었다. 황금분할이 우주의 비밀을 푸는 열쇠라는 사실을 보여주려 했으며 황금분할의 발견을 그의 인생에 있어서 가장 큰 업적으로 남기려 했음을 볼 수 있다. 이후 유클리드에 의해 널리 알려지게 된 황금률은 르네상스 시대를 거치며 예술가와 철학자들에 의해 이 비는 예술과 과학의 연구에 있어 특별한 위치를 차지하게 되었는데 레오나르도 다빈치에 의해 널리 알려진 “비트루비우스적 인간”이라 불리는 인체상에서도 인간의 몸의 비율(Golden Section)이 황금비와 유사함을 알 수 있다. 황금비는 보통 Φ(파이)로 나타내는데, 이는 그리스의 수학자 에우독소스에 의해 붙여졌다. 고대 철학자 플라톤은 황금비를 “이 세상 삼라만상을 지배하는 힘의 비밀을 푸는 열쇠’ 라 했으며, 시인 단테는 “신이 만든 예술품”, 16세기 천체 물리학자 케플러는 “성(聖)스러운 분할(Divine Section)”이라 했으며 신의 형상을 따라 지어내진 신의 피조물이라 했다.
현재까지도 황금비는 가장 널리 쓰이는 비율의 하나로 일상 생활 속에서도 쉽게 찾을 수 있다. 예를 들어 엽서, 담배갑이나 명함의 치수 등도 두 변의 비가 황금비에 가깝다.
□ 잎 차례(phyllotaxis)와 피보나치수열
fm : 조.용현 홈피
내용 중, 주요 요점정리
. 줄기에서의 잎의 배열 방식. 잎차례(葉序)라고도 한다. . 잎차례는 크게 2가지 형태 . 어긋나기"(互生) : 줄기의 각 마디에 잎이 1장씩 나는 것 잎이 줄기의 둘레에 나선상으로 돌기 때문에 "나선잎차례" 라고도 함 . "돌려나기"(輪生) : 2장 이상(~여러장)의 잎이 돌려 나는 것
. 가장 흔한 잎차례인 어긋나기(호생)의 나선 잎차례 . 계속해서 난 2장의 잎을 위 또는 아래에서 보면 . 이 2장의 잎은 일정한 각도를 이루고 있는데 이 각도를 개도(開度)라 함 . 잎차례와 개도의 관계의 예 9번째 세 바퀴 돌아 본래의 위치로 돌아 왔다면, 3/8잎차례이고, 그 개도는 135도
. 나선잎차례에는 이 수열의 각 항에 n=2를 대입한 경우에 해당하는 수열, . 즉 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, …인 것이 가장 많음 . 이 수열에 의거해서 계산되는 개도는 점차 극한 개도 137도30′에 가까워짐
. 이 법칙은 피보나치수열과 수학적으로 밀접한 관계가 있어 널리 알려지게 됨 . phi값 0.618034를 각도로 나타내면 0.618034×360=222.92...도 이것은 시계방향으로의 각 137.0776(360-222.92)와 같음 . 나선잎차례 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13 ... . 피보나치수 1/1,1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13 ...
. 두 수열을 비교해 본다면 각 대응항의 두수의 합이 1이 됨 . 이것은 137도와 222도의 다른 표현 나선잎차례는 시계방향으로 나타낸 것이고 피보나치수열은 시계반대방향으로 나타낸 것임
□ 잎차례는 왜 이러한 피보나치수열을 취하고 있을까?
. 135도의 경우 나선형으로 약간씩 빗겨나가 위의 잎이 아래 잎의 햇볕을 가리는 것을 피하고 있음을 확인할 수 있고, 137도 가까이에서 그 효율이 최대로 됨
그러나 의문은, 대표적 무리수로 원주율 π (3.1415...)와 자연대수 e (2.71828...)가 있는데,
이것은 왜 잎차례의 틀이 되지 못하고 하필 phi (0.6180...)인가?
잎은 각 개체적 단위들이다. 그러므로 그것은 정수의 꼴로 나타난다. 다시 말해서 무리수의 틀을 취하더라도 그것이 자연적 대상으로 나타날 때는 정수의 꼴로 표현되어야 한다. 자연에는 1개, 2개는 있지만 0.6180..개는 없기 때문이다.
정수의 꼴로 쉽게 근사화될 수 있으면서도(정수형을 취해야 한다는 자연의 제약) 특정한 값으로 쉽게 수렴되지 않는 수(중복을 최대한 피하기 위한 잎의 조건)는 무엇인가? 수학자들은 그 가장 대표적인 수가 연분수의 꼴로 표현되는 것이라고 한다.
앞서 phi가 연분수의 전형적 형태를 취하고 있음을 보았다. 물론 π와 e도 연분수의 꼴로 나타낼 수는 있다. 그러나 그것은 phi처럼 간단하지 않으며 상당히 복잡한 형태로 나타난다. (그래서 정수로 쉽게 근사화되지 않는다) 자연이 찾아낸 최적의 해는 피보나치수열 phi이다. 자연의 형태 형성에 피보나치수열이 계속해서 재현되는 것은 무리수의 정수화의 가장 최적의 수열이기 때문이다. 신이 있다면 이외에 다른 방법으로 설계할 수 없었을 것이다.
. 잎차례에 따라 식물을 분류해 보면, . 2/3 갈대, 대나무 등 . 1/3 화본과 식물, 너도밤나무 등 . 2/5 사과, 체리, 살구 등 . 3/8 수양버들 등 . 5/13 쇠뜨기 등
. 이 수는 잎의 배열방식에서 뿐 아니라 . 씨앗의 배열, . 꽃잎의 배열 . 가지의 배열 등에서도 되풀이 해서 나타남
□ 두상화서(composite flower), 꽃차례(inflorescences)와 피보나치수열
. 해바라기 꽃 내의 씨앗은 아주 독특한 방식으로 피보나치수열을 전개하고 있음 . 하나는 시계방향으로 배열되어 있고 다른 하나는 시계반대방향으로 배열됨 . 그 수는 각 21,34 (21/34=0.618) . 종류에 따라 큰 해바라기의 경우 55,89 등도 있으나 모두 피보나치수열의 인근 값임
. 이것은 다른 꽃의 경우에서도 볼 수 있는데 . 왜 해바라기 씨앗들은 이러한 피보나치수열을 취하고 있는 것일까? . 이것은 최소공간에 최대 수의 씨앗의 밀식(密植)의 문제에 대한 해(解)임
. 밀식의 문제라면 꼭 씨앗의 배열의 문제만 있는 것이 아닐 것이다. . 솔방울의 사례 : 솔방울의 포(苞)는 잎들이 좁은 공간 안에 압축되어 변형된 것 . 잎이 가지 주위에 나선을 그리듯 이 포는 나선을 그리며 배열되어 솔방울을 이루는데 . 종류에 따라 둔각 나선과 예각 나선의 수가 다르지만, 모두 피보나치수열의 인근 수열
. 식물의 외피의 구성에서도 나타남 . 파인애플의 겉 표면은 6각형의 비늘로 덮여 있는데 . 이 비늘들의 배열에서도 피보나치수열을 찾아볼 수 잇음
□ 꽃잎의 수, 기타…
……
. 씨앗이나 꽃의 배열에서뿐 아니라 꽃잎의 수에서도 피보나치수열이 나타나고 있음 . 1 화란물토란 . 2 등대풀 . 3 백합, 붓꽃 . 5 양상추, 장미 . 8 코스모스 . 13 금잔화, 국화과 식물 . 21 샤스타 데이지, 꽃상추 . 34, 55, 89 데이지
. 나무의 가지치기 . 피나보치 수열을 이루는 가지치기로 이루어짐
자연의 아름다움은 항상 조건에 대한 최적의 해를 찾아내고 그것에 따라 설계되어 있다는 것이다. 과연 "자연은 신이 쓴 수학책이다"는 갈릴레오의 말이 실감나지 않는가?
■ 세계 7대 수학난제 (밀레니엄 문제)
다음 오픈지식 (2007.07.11), 일부 발췌
미국의 부호 랜던 클레이가 세운 매사추세츠주 케임브리지에 있는 클레이 수학연구소(CMI)는 2000년 수학분야에서 중요한 미해결 문제 7개를 상대로 그 해결에 각각 100만 달러씩의 상금을 걸었다. …… “밀레니엄 수학 7대 난제”(이하 7대 난제)라고 불리는 이 공모는 기간제한이 없으며, 문제를 풀고 국제 학술지에 게재한 후 2년 동안 검증과정을 거쳐 오류가 없다고 판단되면 현상금을 지급한다.
. 밀레니엄 문제 (Millennium Problems)
. P대 NP문제 (P vs NP Problem)
. 리만 가설 (Riemann Hypothesis)
. 양-밀스 이론과 질량 간극 가설 (Yang-Mills and Mass Gap)
. 내비어-스톡스 방정식 (Navier-Stokes Equation)
. 푸앵카레 추측 (Poincare Conjecture)
. 버치와 스위너톤-다이어 추측 (Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)
. 호지 추측(Hodge Conjecture)
. 리만 가설(Riemann Hypothesis)
1859년 천재적인 독일 수학자 리만(Geoorg Friedrich Bernhard Riemann,1826-1866)이 제기한 것으로, "2, 3, 5, 7 같은 소수(素數, 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 수)들이 어떤 패턴을 지니고 있을까?"라는 질문이었다. 고독벽이 있었던 리만은 가설의 증거를 공개하지 않고 죽을 때 모든 서류를 불태우는 바람에, 전세계 수학자들이 이 가설에 도전했으나 풀지 못하고 있다.
. 푸앵카레 추론
프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레가 1904년 처음 제기한 것으로 "어떤 하나의 밀폐된 3차원 공간에서 모든 밀폐된 곡선이 수축돼 하나의 점이 될 수 있다면 이 공간은 반드시 원구(圓球)로 변형될 수 있다"는 추론으로 이는 우주의 형태를 밝혀내는 문제와 관련이 있는 위상기하학의 문제이다. 2차원 구면은 단일연결이라는 근본적인 특징을 가지고 있다. 푸앵카레 추측은 3차원 표면에서도 구에 대해 그러한 사실이 성립하는지에 대한 것이다. 구체적으로 어떤 하나의 닫힌 3차원 공간에서 모든 폐곡선이 수축되어 하나의 점이 될 수 있다면 이 공간은 반드시 원구로 변형될 수 있다고 앙리 푸앵카레가 1904년 처음 제기한 추측이다. 4차원 이상에 대한 문제는 해결되어 있으나 3차원에서 아직 해결되지 않았다.
이들 일곱 가지 문제에 대해 누군가 해법을 제시하면 2년간 검증과정을 거치고 그 동안 결함이 발견되지 않으면 100만 달러의 상금을 클레이 연구소로부터 받게 된다. 아직도 네 가지 수학 난제가 남아 있다.
수학 난제의 공모 역사는 1900년 8월 8일 파리로 거슬러 올라간다. 제2차 국제수학자회의 초청 강연에서 당시 수학계를 이끌던 독일 수학자 힐베르트는 20세기 수학 발전을 위해 해결 해야 할 미해결 문제 23개를 나열했다. ‘힐베르트 문제’로 불리는 이 문제들은 그가 생각한 것보다 쉬운 문제도 있었지만, 대부분 매우 어렵고 중요한 문제로 인정받았다. 그 동안 수많은 수학자가 힐베르트 문제에 도전해 대부분을 푸는데 성공했다. 그러나 아직도 남아 있는 일곱 가지 문제는 좀처럼 풀리지 않자 클레이 연구소에서 현상금까지 걸게 된 것이다.
이 가운데 '푸앵카레 추측(Poincare Conjecture)'은 2002년 러시아의 페렐만이라는 수학자가 그 해법을 제시한 후 검증작업을 거쳤다. 2003년 12월엔 우리나라의 전북대 김양곤와 미국 위스콘신 대학 남기봉 교수가 'P대 NP문제'를 해결하여 역시 검증작업 중이다. 2004년 6월엔 퍼듀 대학 루이스 드 브랑게스 교수가 23쪽짜리 리만 가설에 대한 증명을 인터넷에 게시하며 다른 수학자들의 검토를 요구했다고 한다.
'푸앵카레 추측'을 푼 페렐만의 경우 상금 수여를 거부하고 잠적하여 세계의 주목을 받으며 '기인 수학자'로 알려지고 있다. 러시아의 천재수학자가 백 여 년 간 풀리지 않던 현대수학의 최대 난제를 풀어낸 뒤 종적을 감춰 화제가 되고 있다. 2002년에 '푸앵카레 추론(Poincare conjecture)'을 푸는 단서를 제공해 세계 수학계를 놀라게 했던 그리고리 페렐만이 자취를 감춰 수학계가 애타게 찾고 있다고 뉴욕타임스가 보도한 바 있다. 페렐만은 우주의 성질에 관한 '푸앵카레 추론’을 풀었다고 인터넷에 발표하고 미국 몇 개 대학에서 짧게 순회강연을 한 뒤 2003년 고국으로 돌아가 숲 속에서 은둔생활을 하고 있는 것으로 알려졌다. 이후 세계적인 수학자들이 페렐만의 이론을 바탕으로 푸엥카레 추론을 입증하는데 성공했다. 그리하여 수학계의 노벨상이라 불리는 `필즈 메달(Fields Medal)을 받게 되었지만 그것도 페렐만은 거부했다. 2006년 8월 22일 스페인 마드리에서 열린 국제수학연맹(ICM) 총회 시상식에 끝내 모습을 드러내지 않은 것이다.
국제수학연맹(ICM) 회장인 존 볼 경이 상트 페테르부르크로 직접 날아가 페렐만을 만나 필즈 메달 시상식에 참석할 것을 이틀 동안이나 설득했지만 끝내 실패했다. …… 고향으로 돌아간 페렐만은 상트 페테르부르크에 있는 러시아 최고 권위의 ‘스테클로프 수학 연구소’에서 연구활동을 계속해 왔으나 2006년 1월에는 그곳에도 사직서를 내고 완전히 은둔해 버렸다.
그는 2002년 ‘밀레니엄 7대 난제’로 통하는 푸엥카레 추측을 10년간의 노력 끝에 푸는데 성공하고서도 이를 유명학회지에 발표하는 대신 인터넷에만 공개하고 미국을 떠나 고향인 러시아의 상트 페테르부르크로 돌아갔다. 상트페테르부르크에서 태어나 16살 때 국제수학올림피아드에서 만점을 받으며 재능을 인정받았던 그는 90년 대 초반 연구를 위해 미국으로 건너갔다가 프린스턴, 스탠포드 등 미국 유수 대학의 초빙제안을 받았지만 모두 거절한 채 고국으로 돌아갔다 ……
□ 세계 7대 수학난제
출처미상
□ P vs NP Problem (P 대 NP 문제)
이 문제는 밀레니엄 문제들 중에서 유일하게 컴퓨터와 관련된 문제이다. 많은 사람들은 이를 의아하게 여길 것이다. "요새는 수학 연구를 대부분 컴퓨터로 하잖아?"라고 반문할 것이다. 정말 그럴까? 아니다. 실상은 그렇지 않다. 물론 맞는 말이기도 하다. 대부분의 수치 계산은 컴퓨터에 의해서 수행된다. 그러나 수치 계산은 수학의 작은 부분에 불과하며 핵심적인 부분이 아니다.
전자 컴퓨터는 수학에서 나왔지만 - 컴퓨터를 위해서 필요한 수학의 마지막 단계는 최초의 컴퓨터가 제작되기 수년 전인 1930년대에 완성되었다 - 지금까지 컴퓨터 세계에서 발생한 중요한 - 세상에서 가장 중요하다고 인정할만한 - 수학적 문제는 단 두 개에 불과하다. 그 두 문제는 계산기계라기보다는 개념적 처리과정으로 이해된 컴퓨터와 관련된다. 물론 이런 이해가 실제 계산에 대해서 중요한 함축을 가질 가능성은 열려 있다. 두 문제 중 하나는 헬베르트의 1900년 문제 목록에 들어있다. 그 문제 - 특정한 방정식들은 컴퓨터로 풀 수 없음을 증명하라는 문제 - 는 1970년에 해결되었다.
다른 한 문제는 더 최근에 제기되었다. 그 문제는 컴퓨터가 얼마나 계산과제들을 효율적으로 해결할 수 있는 지와 관련된다. 컴퓨터 과학자들은 계산과제들을 두 개의 주요 범위로 분류한다. P형 과제는 컴퓨터를 통해서 효율적으로 해결할 수 있다. E형 과제는 컴퓨터로 완수하려면 100만년 이상이 걸릴 수도 있다. 안타깝게도 공업이나 상업에서 발생하는 주요 계산과제들은 대부분 세 번 째 문제인 NP형에 속한다. NP형은 P형과 E형의 중간인 것처럼 보인다. 정말 그럴까? NP형 과제가 실은 변형된 P형 과제인 것은 아닐까? 대부분의 전문가들은 NP와 P가 다르다고 믿는다. (즉, NP형 계산과제는 P형 계산과제와 다르다고 믿는 것). 그러나 30년에 걸친 노력에도 불구하고 NP가 P와 같은지 여부는 증명되지 않았다. 이 문제의 해결은 공업, 상업, 그리고 인터넷을 비롯한 전자통신에 커다란 영향을 끼칠 것이다.
□ Poincaré Conjecture (푸앵카레 추측)
거의 한 세기 전 프랑스 수학자 푸앵카레가 처음 제시한 이 문제는 다음과 같은 간단해 보이는 질문에서 시작된다. “사과와 도넛을 어떻게 구별할 수 있을까?” 정말이지 이 질문은 100만 달러의 상금과는 거리가 먼 질문으로 보인다. 하지만 이 질문은 어렵다. 왜냐하면 푸앵카레가 보다 일반적인 경우들에 적용될 수 있는 수학적 해답을 요구했기 때문이다. 그 요구 때문에, 한 입 먹어보면 알지 않느냐는 자명한 해답들은 제거된다. 푸앵카레 자신이 제시한 해답을 알아보자. 만일 당신이 사과 표면에 고무 밴드를 늘여놓았다면, 당신은 그 밴드를 천천히 움직여서 한 점이 되도록 축소시킬 수 있다. 고무 밴드를 자를 필요도 없고, 표면을 떠날 필요도 없다. 반면에 도넛 둘레를 한 바퀴 감도록 고무 밴드를 늘여놓았다고 해보자. 이 경우에는 고무 밴드나 도넛을 자르지 않는 한, 고무 밴드를 한 점으로 축소시킬 방법이 없다. 축소되는 밴드를 이용한 이 구분법을 사과와 도넛의 5차원 변양태에서도 적용할 수 있을까? 푸앵카레가 묻는 질문이 바로 이것이다. 놀랍게도 아직 아무도 이 질문에 답하지 못했다. 푸앵카레 추측에 따르면, 고무 밴드 발상을 이용해서 4차원 사과를 식별할 수 있다.
이 문제는 현대 수학에서 가장 흥미로운 분야들 중 하나인 위상학의 핵심에 놓여 있다. 위상학은 그 자체로 흥미롭고 때로는 기발한 발상으로 수학적 이성인들을 사로잡을 뿐만 아니라 - 예를 들면 위상학은 도넛과 커피 잔이 심층적이고 근본적인 관점에서는 동일하다고 말한다 - 수학의 여러 분야들과 관계된다. 위상학의 발전은 컴퓨터 칩을 비롯한 전자부품의 설계와 생산, 운송, 뇌 연구, 심지어 영화산업에도 영향을 끼친다.
□ Navier-Stokes Equation (내비어-스톡스 방정식)
내비어-스톡스 방정식들은 배의 몸통 주위를 흐르는 물이나 비행기 날개 위로 흐르는 공기 같은 유체와 기체의 흐름을 기술한다. 그 방정식들은 수학자들이 말하는 이른바 편미분 방정식이다. 과학이나 공학을 전공하는 대학생들은 의례적으로 편미분 방정식의 해법을 배운다. 내비어-스톡스 방정식들은 외관상 대학 미적분학 교과서에 나오는 편미분 방정식 연습 문제와 다르지 않아 보인다. 그러나 외관은 기만일 수 있다. 오늘날까지 그 누구도 내비어-스톡스 방정식의 해의 공식을 찾을 단서조차 발견하지 못했다 - 그런 공식의 존재 여부조차 밝혀지지 않았다.
이 실패에 아랑곳하지 않고 해양공학자들은 효율적인 배를 설계하고, 항공공학자들은 우수한 비행기를 설계한다. 내비어-스톡스 방정식을 푸는(2차 방정식 해의 공식과 유사한) 일반 공식은 없지만, 컴퓨터를 이용하여 특정 형태의 방정식들에 대한 근사적인 해를 구하는 것은 가능하기 때문이다. 양-밀스 문제와 마찬가지로 내비어-스톡스 문제 역시 수학이 다른 분야를 따라잡을 것을 요구한다. 이 문제의 경우에는 공학자들이 이미 하고 있는 일을 수학이 따라잡아야 한다.
"따라잡는다"는 표현이 그릇된 인상을 줄지도 모르겠다. 뒤쳐지기 싫어하는 수학자들의 자존심이 관건이라는 인상 말이다. 그런 인상을 가진다면, 과학적 지식이 발전해고는 방식을 오해한 것이다. 수학은 본성상 추상적이기 때문에, 현상을 수학적으로 이해한다는 것은 일반적으로 가장 깊고 확실하게 이해한다는 것이다. 또한 무엇인가를 더 깊게 이해하면, 그것을 더 잘 이용할 수 있다. 질량 간극 가설의 증명이 물리학에 획기적인 발전을 가져올 것과 마찬가지로, 내비어-스톡스 방정식 풀이는 해양 및 항공공학의 발전을 가져올 것이 분명하다.
□ Riemann Hypothesis (리만 가설)
이 문제는 1900년 힐베르트가 제시한 문제들 중 미해결로 남아 있는 유일한 문제이다. 어떤 특정한 방정식의 가능한 해들과 관련된 이 기묘한 형태의 문제가 수학의 미해결 문제들 중 가장 중요한 문제라는 것에 전 세계 수학자 대부분이 동의한다.
이 문제는 1859년 독일 수학자 리만에 의해서 처음 제기되었다. 리만은 다음과 같은 오랜 수학적 질문에 대한 답을 추구하고 있었다 “소수들이 무엇인가 패턴을 가지고 있을까?” 기원전 350년경 유명한 그리스 수학자 유클리드는 소수가 영원히 계속된다는 것을, 즉 무한히 많이 소수가 존재한다는 것을 증명했다. 더 나아가 실제로 소수를 나열해보면, 수가 커질수록 소수가 점점 “엷어져서” 드물게만 나타나는 듯이 보인다. 하지만 소수에 관해서 이 이상의 이야기를 할 수 있을까? 사실상 할 수 있다. 리만 가설이 증명된다면, 소수와 소수의 분포에 관한 우리의 지식이 발전할 것이다. 또한 그 증명은 수학자들의 호기심을 만족시키는 것 이상의 귀결을 가져올 것이다. 그 증명은 소수들의 패턴을 휠씬 넘어선 수학적 귀결들을 가질 뿐 아니라, 물리학과 현대 통신기술에도 응용될 것이다.
□ Hodge Conjecture (호지 추측)
이 문제는 현재 위상학에 결여된 또 하나의 조각이다. 이 일반적인 문제는 어떻게 단순한 대상들로부터 복잡한 수학적 대상을 구성할 수 있는 지와 관련된다. 이 문제는 아마도 밀레니엄 문제들 중에서 일반인이 이해하기가 가장 어려운 문제일 것이다. 기반에 있는 직관이 다른 문제들에 의해 덜 분명하거나, 다른 문제들보다 더 난해하기 때문이 아니다. 오히려 일반인이 경험하게 될 어려움은 호지 추측이 특정한 종류의 추상적 대상들을 분류하기 위해서 수학자들이 사용하는 기법과 관련되기 때문에 발생한다. 호지 추측은 그 분류법의 심층에서 나오며 추상 수준이 높다. 그 추상 수준에 도달하는 유일한 길은 점점 높아지는 추상 수준들을 거쳐 올라가는 길이다.
호지 추측을 향한 길은 20세기 전반기에 수학자들이 복잡한 대상들의 모양을 탐구하는 강력한 방법을 발견하면서 열렸다. 그 방법의 기반에 있는 발상은 주어진 대상의 모양을 단순한 기하학적 벽돌들을 짜 맞춤으로서 어느 정도까지 근사 시킬 수 있는지를 묻는 것이었다. 그 방법은 매우 유용했고 여러 방식으로 일반화되었다. 수학자들은 그 방법들을 발전시켜 강력한 기법들을 만들어냈다, 결국 많은 다양한 종류의 대상들을 나열한 목록에 도달했다. 하지만 불행하게도 기법들이 일반화 되는 과정에서 기하학적 근원이 흐려졌다, 수학자들은 기하학적 해석이 전혀 없는 대상들도 목록에 포함시켜야 했다. 호지 추측은 중요한 대상들의 집합(투사 대수 다양체 projective algebraic varieties라고 불림)에 대해서는, 호지 회로라고 불리는 조각들이 기하학적 조각들(대수 회로라고 불림)의 조합이라고 주장한다.
□ Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture (버츠와 스위너톤-다이어 추측)
이 문제에서 우리는 다시 리만 가설에서와 마찬가지로 일반적이 수학 영역으로 돌아오게 된다. 고대 그리스 시대 이래 수학자들은 다음과 같은 유형의 대수 방정식의 모든 정수해를 기술하는 문제를 놓고 씨름해왔다.
x² + y² = z²
이 특정한 방정식에 대해서는 유클리드가 완벽한 해답을 제시했다 - 즉 모든 해들을 산출하는 공식을 제시했다. 1944년 와일스는 2보다 큰 임의의 지수 n에 대해서 방정식
x^n + y^n = z^n
이 0이 아닌 정수해를 가지지 않음을 증명했다. (이 결론이 페르마의 마지막 정리임). 그러나 더 복잡한 방정식들에 대해서는 정수해가 있는지, 혹은 어떤 정수해가 있는지를 밝혀내기가 매우 어렵다. 버치와 스위너톤-다이어 추측은 그 난해한 방정식들 중 한 유형에 대해서 가능한 해들에 관한 정보를 제시한다.
이 문제는 리만 가설과 관련이 있으며, 이 문제가 해결된다면 소수에 대한 우리의 전반적인 이해에 도움이 될 것이다. 이 문제의 해결이 리만 가설 증명처럼 수학 이외의 영역에도 영향을 미칠지 여부는 불분명하다. 버치와 스위너톤-다이어 추측 증명은 수학자에게만 국한된 관심사로 판명될지도 모른다.
그러나 이 문제를 비롯한 많은 수학 문제가 "실용성이 없다"고 판정하는 것은 어리석은 일이다. 물론 "순수 수학"의 추상적 문제들을 연구하는 수학자들은 대개 어떤 실용적인 귀결에서 동기를 얻기보다는 지적 호기심에서 동기를 얻는다. 그러나 순수 수학에서의 발견이 중요한 실용적 귀결을 갖는다는 사실은 역사 속에서 누차 입증되었다.
뿐만 아니라 한 문제를 풀기 위해서 수학자들이 개발한 기법들이 전혀 다른 문제들에 응용될 수 있다는 사실이 종종 입증되었다. 와일스가 페르마의 마지막 정리를 증명한 것이 전형적인 그런 사례이다. 이와 유사하게 버치와 스위너톤-다이어 추측의 증명 역시 다른 용도가 발견될 새로운 발상들을 포함할 것이 거의 확실하다.
□ Yang-Mills and Mass Gap (양-밀스 이론과 질량 간극 가설)
수학의 새로운 발전을 위한 계기는 상당 부분 과학 특히 물리학으로부터 주어진다. 예를 들면 수학자 뉴턴과 라이프니츠가 17세기에 미적분학을 발명한 동기는 물리학을 위해서였다. 미적분학은 연속 운동을 수학적으로 엄밀하게 기술하는 방법을 제공함으로써 과학에 혁명을 일으켰다. 뉴턴과 라이프니츠의 방법은 유효했다. 그러나 미적분학의 기반을 이루는 수학이 제대로 완성되기까지는 약 250년이 더 필요했다. 지난 반세기 정도에 걸쳐서 개발된 물리학 이론과 관련해서 유사한 상황이 벌어지고 있다. 이 일곱 번째 밀레니엄 문제는 수학자들에게 물리학을 따라잡을 것을 요구한다.
양-밀스 방정식들은 양자물리학에서 나왔다. 그 방정식들은 지금으로부터 거의 50년 전에 물리학자 양전닝과 로버트 밀스가 중력을 제외한 자연의 힘들을 기술하기 위해서 정식화했다. 그 방정식들은 훌륭한 성과를 거두었다. 방정식으로부터 도출된 예측들은 전 세계 실험실에서 관찰된 입자들을 설명한다. 그러나 실용적으로 효율적임에도 불구하고 양-밀스 이론은 아직 수학적으로 완성되지 않았다. 일곱 번째 밀레니엄 문제가 요구하는 것 중 하나는, 그 이론을 공리로부터 출발해서 수하적으로 전개하라는 것이다. 요구되는 수학적 이론은 실험실에서 관찰된 여러 조건에 부합해야 할 것이다. 특히 그 이론은 양-밀스 방정식들의 해라고 상정된 것들과 관련된 "질량 간극 가설"을 (수학적으로)입증해야 한다. 대부분의 물리학자들은 이 가설을 받아들여 전자가 질량을 가지는 이유를 설명한다. 질량 간극 가설을 증명할 수 있는지 여부는 양-밀스 이론을 올바르게 수학적으로 전개했는지 여부를 판가름할 수 있는 좋은 시험기준이라고 여겨진다. 그들 역시 전자가 왜 질량을 가지는지 엄밀하게 설명하지 못하고 있다. 다만 그렇다는 것을 관찰했을 뿐이다.
( 참고자료 )
□ 현대 추상수학의 아버지 “힐베르트”
2000.06.03. 경향, 과학이야기
임경순 포항공대 교수
20세기 수학은 다비트 힐베르트(1862~1943)가 낸 문제를 풀면서 시작해서 앤드루 와일스가 ‘페르마의 마지막 정리’를 증명한 것으로 끝났다고 할 수 있다. 힐베르트는 현대 추상 수학이 탄생하는 데 결정적인 공헌을 한 수학자였다.
그는 1902년 유클리드의 ‘원론’이래 가장 위대한 업적으로 일컬어지고 있는 ‘기하학의 기초’라는 책을 출판했다. 이 책에서 그는 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 포괄하는 기하학의 공리적 기초를 마련했다.
무엇보다도 그는 1900년 8월8일 국제 수학학회에서 다가올 20세기에 수학계에서 해결해야 할 23개의 수학 문제들을 제시했는데, 이때 힐베르트가 출제한 문제들을 풀기 위해 수많은 수학자들이 달려들면서 이 문제들은 20세기 수학의 진행 방향에도 커다란 영향을 미쳤다. 20세기 수학이 힐베르트가 낸 문제를 풀면서 시작되었다고 하는 이유가 바로 여기에 있는 것이다.
1886년부터 쾨니히스베르크 대학에서 연구하던 힐베르트는 1895년 펠릭스 클라인의 초청으로 괴팅겐에 자리를 잡으면서 대수적 정수론, 기하학의 기초 등의 순수 수학분야에서 탁월한 업적을 냈다. 특히 힐베르트는 아인슈타인이 자신의 최후의 장 방정식을 얻기 5일 전인 11월20일 변분법이라는 수학적 방법을 이용해서 아인슈타인과 동일한 중력장 방정식의 최종 식을 얻어냈던 것으로도 유명하다.
물론 이것이 가능하게 된 데에는 그 해 6월말에서 7월초 사이에 아인슈타인이 괴팅겐에서 일반 상대성이론에 관한 강연을 했었고, 이것에 자극 받아 괴팅겐의 수학자들이 아인슈타인도 그때까지는 풀지 못했던 일반 상대론의 문제에 대해 관심을 갖게 되면서 이런 성과가 나올 수 있었다. 당시에 힐베르트가 우선권을 강하게 주장했더라면 오늘날 우리가 부르는 아인슈타인의 중력장 방정식은 힐베르트 중력장 방정식이 되었을 것이다.
오늘날 몇몇 책에서는 아인슈타인의 중력장 방정식을 ‘힐베르트-아인슈타인 중력장 방정식’이라고 부르면서 힐베르트의 업적을 평가해주기도 한다. 1924년 힐베르트는 그의 수제자인 쿠랑과 함께 ‘수리물리학의 방법’ 이라는 20세기 수리물리학 분야의 고전적인 책을 출판했다. 이 책은 슈뢰딩거의 파동역학이 나오기 직전에 출판돼 과학자들이 파동역학에 나오는 난해한 수학적 방법을 쉽게 이해하게 해주어 현대물리학의
보급에도 결정적인 역할을 했다.
올해 8월8일이면 힐베르트가 문제를 낸 지 꼭 100년이 된다. 2000년을 맞이해서 21세기에 풀어야 할 문제는 과연 어떤 것일까? 21세기의 시작점에서 100년 전 힐베르트가 낸 문제를 다시 생각해보는 것은 의미 있는 일일 것이다.
□ 이데알 (ideal)
독일 수학자, 데데킨트 ((Julius Wilhelm) Richard Dedekind, 1831.10.6 ~ 1916.2.12)
그는 정수의 성질과 관계(즉 수의 개념)를 계속 연구해 〈대수적 정수론에 대하여 Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen〉(1879)를 발표했다. 그는 여기서 계수가 평범한 정수인 다항방정식을 만족시키는 대수적 정수로 이루어져 있고 그보다 더 큰 집단에서 분리된 수의 집합을 ' 이데알'(ideal)이라고 했다. 이데알은 주어진 대수적 정수의 모든 배수로 이루어진 집합이다. 예를 들면 (2)라는 표시는 ……－8, －6, －4, －2, 0, 2, 4, 6, 8…… 같은 특정한 집합을 나타낸다. 두 이데알의 합도 역시 각 집단을 이루는 모든 성분의 모든 합으로 이루어진 이데알이며, 같은 방법으로 두 이데알의 곱도 정의할 수 있다. 또한 이데알은 정수처럼 생각해서 더하거나 곱할 수 있으며 인수분해할 수도 있다. 그는 이 이론으로 그때까지 분석되지 않았던 많은 대수적 구조에 일의적 인수분해 과정(一意的 因數分解 過程：하나의 수를 1과 자체의 곱이나 소수만으로 나타내는 것)을 적용할 수 있었다.
□ 리 군(Lie group)
어떤 집합이 다음 세 가지 조건을 만족할 때 리 군(Lie group)이라고 정의된다.
제1조건, 집합 X는 군일 것.
제2조건, X는 패러콤팩트 실해석적 다양체(實解析的多樣體)일 것.
제3조건, X×X에서 X로의 사상 (x,y) → xy − 1은 실해석적일 것.
□ 대수학 (Algebra)의 범위
. 대수적 구조론(Algebraic Structures)
. 표현론 (Representation Theory)
. 정수론 (Number Theory)
. 대수기하학과 가환대수(Algebraic Geometry and Commutative Algebra)
. 응용대수학 (Applied Algebra)
19세기 이전까지의 대수학의 주된 내용은 정수론과 방정식의 해법이었다. 그러나, 아벨과 갈로아가 5차 이상의 방정식의 대수적 해법이 불가능함을 보이는데 군과 체의 개념을 사용하면서 다양한 대수계가 탄생하였다. 대수계는 몇 가지 공리를 만족하는 연산을 갖춘 집합으로서, 군, 환 및 가군, 벡터공간, 체,카테고리 등 많은 대수계의 구조론을 연구하는 것이 대수학이다.
이들 이론은 그 자체로서 중요할 뿐만 아니라, 대수적 방법론을 통하여 해석학, 기하학, 위상수학의 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 최근에는 이론물리학, 응용수학에도 이용되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다.
. 대수적 구조론(Algebraic Structures)
군이나 환 및 가군의 구조를 연구한다. 군론은 수학의 여러 분야뿐만 아니라 양자역학, 소립...
■ SI 기본 단위
백과사전
국제단위계(國際單位系, 프랑스어: SI, Le Système International d'Unités)는 도량형의 하나로, 미터법 또는 MKS 시스템(Meter-Kilogram-Second)이라고도 불린다. 국제단위계는 현재 세계적으로 상업적으로나 과학적으로 널리 쓰이는 도량형이다. 국제단위계에서는 7개의 기본 단위가 정해져 있다. 이것을 SI 기본 단위(국제단위계 기본 단위)라고 한다.
. 물 리 이 름 기 호
길이 미터 m
질량계 킬로그램 kg
시간 초 s
전류 암페어 A
온도 켈빈 K
물질량 몰 mol
광도 칸델라 cd
□ SI 유도 단위
물리적 원리에 따라 여러 SI 기본 단위들을 조합하여 새로운 단위를 유도할 수 있다. 이들은 기본 단위들을 곱하거나 나누어 얻을 수 있다. SI 조립 단위, SI 도출 단위라고 부르기도 한다.
. 유도량 이 름 기 호
넓이 제곱미터 m2
부피 세제곱미터 m3
속력, 속도 미터/초 m/s
가속도 미터/초 제곱 m/s2
밀도 킬로그램/세제곱미터 kg/m3
농도 몰/세제곱미터 mol/m3
광휘도 칸델라/제곱미터 cd/m2
□ SI 무차원 단위
. 유도량 이 름 기 호 SI 단위로 나타낸 값
평면각 라디안 rad
입체각 스테라디안 sr
□ SI 차원 단위
. 유도량 이 름 기 호 SI 단위로 나타낸 값
주파수 헤르츠 Hz s^-1
힘 뉴턴 N kg m s^-2
압력, 응력 파스칼 Pa N/m2 = kg m^-1 s^-2
에너지, 일, 열량 줄 J N m = m2 kg s^-2
일률, 전력, 동력 와트 W J/s = m2 kg s^-3
전하량, 전기량 쿨롱 C s A
전위차, 기전력, 전압 볼트 V W/A = m2 kg s^-3 A^-1
전기용량 패럿 F C/V = m^-2 kg^-1 s4 A2
전기 저항 옴 Ω V/A = m2 kg s^-3 A^-2
컨덕턴스 지멘스 S A/V = m^-2 kg^-1 s3 A2
자기 선속 웨버 Wb V s = m2 kg s^-2 A^-1
자기 선속 밀도 테슬라 T Wb/m2 = kg s^-2 A^-1
인덕턴스 헨리 H Wb/A = m2 kg s^-2 A^-2
섭씨 온도 섭씨도 ℃ K - 273.15
광선속 루멘 lm cd sr
조도 룩스 lx lm/m2
방사능 베크렐 Bq s^-1
흡수선량 그레이 Gy J/kg = m2 s^-2
선량당량 시버트 Sv J/kg = = m2 s^-2
촉매활성도 캐탈 kat mol s^-1
이 중에서 라디안과 스테라디안은 기하학적으로 정의된 단위로 그 의미는 다음과 같다.
라디안은 한 원의 원둘레에서 그 원의 반지름과 같은 길이를 가지는 호의 길이에 대한 중심각이다.
예를 들어 직각은 π/2 rad이다. 원 전체의 각은 2π rad이 된다.
스테라디안은 반지름이 r인 구의 표면에서 r2인 면적에 해당하는 입체각이다.
구 전체의 입체각은 4π sr이 된다.
□ SI와 함께 쓰이는 단위
. 유도량 이 름 기 호 SI 단위로 나타낸 값
시간 분 min 1 분 = 60 s
시간 시간 h 1 h = 60 min = 3600 s
시간 일 d 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s
각도 도 ° 1° = (π/180) rad
각도 분 ′ 1′ = (1/60)° = (π/10800) rad
각도 초 ″ 1″ = (1/60)′ = (1/3600)° = (π/648000) rad
부피 리터 L 1L = 0.001 m3
질량 톤 t 1 t = 103 kg
. SI 단위계와 함께 사용되는 것이 용인된 비 SI 단위
에너지 전자볼트 eV 1eV = 1.60217733 (49) × 10^-19 J
질량 원자량 단위 u 1u = 1.6605402 (10) × 10^-27 kg
길이 천문 단위 au 1au = 1.49597870691 (30) × 10^11 m
. SI 단위계와 함께 사용되는 것이 현재 용인된 그밖의 비 SI 단위
길이 해리 해리 1 해리 = 1852 m
속력 노트 kn 1 kn = 시간당 1 해리 = (1852/3600) m/s
넓이 아르 a 1a = 1dam2 = 100 m2
넓이 헥타르 ha 1ha = 100a = 10000 m2
압력 바 bar 1 bar = 10^5 Pa
길이 옹스트롬 Å 1 Å = 0.1 nm = 10^-10 m
면적 바안 b 1b = 10^-28 m2
□ SI 접두어
. 10^n, 접두어, 기호, 배수, 십진수 10^24 요타 (yotta) Y 자 1 000 000 000 000 000 000 000 000 10^21 제타 (zetta) Z 십해 1 000 000 000 000 000 000 000 10^18 엑사 (exa) E 백경 1 000 000 000 000 000 000 10^15 페타 (peta) P 천조 1 000 000 000 000 000 10^12 테라 (tera) T 조 1 000 000 000 000 10^9 기가 (giga) G 십억 1 000 000 000 10^6 메가 (mega) M 백만 1 000 000 10^3 킬로 (kilo) k 천 1 000 10^2 헥토 (hecto) h 백 100 10^1 데카 (deca) da 십 10 10^0 일 1 10^−1 데시 (deci) d 십분의 일 0.1 10^−2 센티 (centi) c 백분의 일 0.01 10^−3 밀리 (milli) m 천분의 일 0.001 10^−6 마이크로 (micro) µ 백만분의 일 0.000 001 10^−9 나노 (nano) n 십억분의 일 0.000 000 001 10^−12 피코 (pico) p 일조분의 일 0.000 000 000 001 10^−15 펨토 (femto) f 천조분의 일 0.000 000 000 000 001 10^−18 아토 (atto) a 백경분의 일 0.000 000 000 000 000 001 10^−21 젭토 (zepto) z 십해분의 일 0.000 000 000 000 000 000 001 106−24 욕토 (yocto) y 일자분의 일 0.000 000 000 000 000 000 000 001
□ 바이트 크기
기비바이트(giga binary byte, GiB) 또는 기가 이진 바이트는 정보나 컴퓨터 저장장치의 단위이다.
1 기가 이진 바이트 = 2^30 바이트 = 1,073,741,824 바이트 = 10^24 메비바이트
기가 이진 바이트와 비슷한 동의어인 기가바이트는 10^9 바이트 = 1,000,000,000 바이트(이진 접두어 참조)로 사용된다.
SI값 전통용법 이진 접두어 . 기호(이름) 값, 기호 값, 기호(이름) V값 kB (킬로바이트) 1000^1 = 10^3 KB 1024^1 = 2^10 KiB (키비바이트) 2^10 MB (메가바이트) 1000^2 = 10^6 MB 1024^2 = 2^20 MiB (메비바이트) 2^20 GB (기가바이트) 1000^3 = 10^9 GB 1024^3 = 2^30 GiB (기비바이트) 2^30 TB (테라바이트) 1000^4 = 10^12 TB 1024^4 = 2^40 TiB (테비바이트) 2^40 PB (페타바이트) 1000^5 = 10^15 PB 1024^5 = 2^50 PiB (페비바이트) 2^50 EB (엑사바이트) 1000^6 = 10^18 EB 1024^6 = 2^60 EiB (엑스비바이트) 2^60 ZB (제타바이트) 1000^7 = 10^21 ZB 1024^7 = 2^70 ZiB (제비바이트) 2^70 YB (요타바이트) 1000^8 = 10^24 YB 1024^8 = 2^80 YiB (요비바이트) 2^80
. 이름, 기호, 2의 제곱, 10의 제곱
키비 (kibi) Ki 2^10 = 0x400 1,024 ≒ 10^3
메비 (mebi) Mi 2^20 = 0x10 0000 1,048,576 ≒ 10^6
기비 (gibi) Gi 2^30 = 0x4000 0000 1,073,741,824 ≒ 10^9
테비 (tebi) Ti 2^40 = 0x100 0000 0000 1,099,511,627,776 ≒ 10^12
페비 (pebi) Pi 2^50 = 0x4 0000 0000 0000 1,125,899,906,842,624 ≒ 10^15
엑스비 (exbi) Ei 2^60 = 0x1000 0000 0000 0000 1,152,921,504,606,846,976 ≒ 10^18
제비 (zebi) Zi 2^70 = 0x40 0000 0000 0000 0000 1,180,591,620,717,411,303,424 ≒ 10^21
요비 (yobi) Yi 2^80 = 0x1 0000 0000 0000 0000 0000 1,208,925,819,614,629,174,706,176 ≒ 10^24
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